Area

ZE	Quésta pàgina a l'é scrîta in léngoa zenéize A Grafîa adeuviâ a l'é quélla de l'Académia Ligùstica do Brénno

'Na superfìcce de 'n mêtro quàddro.

L'àrea (dîta ària ascì) a l'é a quantitæ ch'a mezûa l'estensción de 'na superfìcce ciànn-a, sàiva a dî de 'na figûa inte dôe dimenscioìn. Defæti a superfìcce a l'é o lêugo di pónti scitoæ in sciâ región de ciàn, co-a sò estensción ch'a l'é pe cóntra l'àrea.

Pe figûe inte træ dimenscioìn, l'àrea l'é definîa cómme a superfìcce totâle de quéllo ògètto, inte sto câxo chi se parliâ defæti de àrea superficiâle.

Unitæ de mezûa de l'àrea

Scistêma internaçionâle

E unitæ de mezûa de l'àrea són corispóndenti a-e relatîve unitæ de mezûa da longhéssa: ògni àrea de grandéssa unitâia a l'é determinâ da 'n quadrâto ch'o l'à di lâti che són de longhéssa unitâia lê ascì.

L'unitæ de mezûa fondamentâle a l'é o mêtro quàddro, çernûa da-o scistêma internaçionâle de unitæ de mezûa e derivâ da-o mêtro, unn-a de 7 unitæ de bâze. E âtre unitæ inportànti són riportæ inta tabélla chi de sótta:

Unitæ de mezûa de l'àrea

Unitæ	milìmetro quàddro	cìtto quàddro	dexímetro quàddro	mêtro quàddro	decàmetro quàddro	etàmetro quàddro (ètaro)	chilòmetro quàddro
Scìnbolo	mm²	cm²	dm²	m²	dam²	hm²	km²
Valô (in mêtri quàddri)	0,000001 m²	0,0001 m²	0,01 m²	1 m²	100 m²	10.000 m²	1.000.000 m²

Âtri pàixi

Coscì cómme pe-e unitæ de mezûa da longhéssa, inte naçioìn di Stâti Unîi d’América, da Libeîa e do Myanmar, óltre che parçialménte into Régno Unîo e in Cànada ascì, s'adêuvian de unitæ diferénti. Prezénpio gh'é:

• 1 pòlice quàddro = 6.4516 cm²
• 1 pê quàddro = 0.09290304 m²
• 1 iàrda quàddra = 0.83612736 m²
• 1 mìggio quàddro = 2.589988110336 km²

Notâ che o mìggio utilizòu o l'é quéllo terèstre (lóngo 1.609,344 m) e no quéllo mæn (lóngo 1.852 m).

Unitæ de mezûa di terén

Storicaménte són existîe numerôze unitæ pe mezuâ l'estensción de 'n terén. Câxo particolâ o l'é quéllo da giornâ piemontéize (Giornà inta léngoa locâle): pægia ciù ò mêno a 3.810 m², a l'é dêuviâ ancón a-a giornâ d’ancheu inte quélla región e inti doî comùn de Çéngio e Mascimìn ascì, inta provìnsa de Sànn-a.

Stöia

Àrea do çèrcio

L'àrea do çèrcio a l'êa za stæta calcolâ da-i grêghi antîghi into quìnto sécolo prìmma de Crìsto. A ògni mòddo, l'Ippocrate de Scîo o l'àiva sôlo scovèrto ch'a gh'è 'na relaçión quadràtica tra o ràggio e l'àrea, sénsa determinâ o valô do fatô moltiplicativo. Quésto o l'é stæto determinòu da-o matemàtico grêgo Archimêde into sò lìbbro A mezûa do çèrcio, dond'o l'é stæto ciamòu pe-a prìmma vòtta π, pi grêgo.

Into 1761 o matemàtico svìsero Johann Heinrich Lambert o l'à dimostròu che π o l'é 'n nùmero iraçionâle e, into 1882, o matemàtico tedésco Ferdinand von Lindemann o l'à pe cóntra mostròu che π o l'é 'n nùmero trascendentâle ascì.

Àrea do triàngolo

L'àrea do triàngolo a l'é stæta fòscia determinâ za da-o matemàtico grêgo-egiçiàn Erón de Lusciàndria, calcolâ rispètto a-i sò lâti, into lìbbro Metrica, scrîto ciù ò mêno inte l'ànno 60 dòppo crìsto. Però l'é poscìbile, cómme àn sugerîo çèrti stòrichi, che za doî sécoli prìmma o grànde matemàtico Archimêde o savésse de sta fórmola chi pe calcolâ l'àrea do triàngolo.

Àrea de âtre figûe ciànn-e

L'introduçión do ciàn cartexàn into sécolo XVII da pàrte do matemàtico françéize René Descartes a l'à permìsso a-o Gauss, into sécolo XIX, de elaborâ a fórmola pe calcolâ l'àrea de tùtte e figûe ciànn-e, se són conosciûe e coordinæ di sò vèrtichi.

Càlcolo integrâle

Co-a scovèrta do càlcolo integrâle, avegnûa a-a fìn do sécolo XVII, l'é diventòu poscìbile calcolâ àree de figûe bén bén ciù conplèsse, óltre che de superfìcce cùrve de figûe inte træ dimenscioìn.

Càlcolo de l'àrea

Relaçión tra 'n retàngolo e 'n triàngolo co-e mæxime mezûe.

Figûe ciànn-e

Figûe retangolâri

A fórmola ciù sénplice pe calcolâ 'n'àrea a l'é quélla do retàngolo, sàiva a dî:

$A=b*h$ dónde b a l'é a bâze e h a l'é l'altéssa do retàngolo.

Quésta fórmola a peu êse dêuviâ pe definî l'òperaçión da moltiplicaçión ascì, partìndo da 'n ògètto giömétrico.

Método da diseçión in sce 'n paralêlogràmmo.

Into câxo b = h, ö sæ se a bâze a l'é pægia a l'altéssa, a figûa analizâ a saiâ 'n quadrâto e a sò àrea a se poriâ calcolâ cómme:

$A=l*l=l^{2}$ dónde l a l'é ciaschedùn lâto de quéllo quadrâto.

Método da diseçión

Pe figûe comme triàngoli, trapéççi o paralêlogràmmi s'adêuvia o método da diseçión, "ricostroìndo" a figûa inte 'n retàngolo ò 'n triàngolo. Defæti, ciaschedùn paralêlogràmmo o peu êse spartîo inte 'n trapéçio e 'n triàngolo. A sto pónto chi, se peu façilménte dimostrâ cómme l'àrea da figûa coscì òtegnûa a ségge pægia a quélla do retàngolo con mæxima bâze e altéssa. Dónca, l'àrea de 'n paralêlogràmmo a l'é:

$A=b*h$ dónde b a l'é a bâze e h a l'é l'altéssa do paralêlogràmmo.

Pe de ciù, 'n çèrto paralêlogràmmo o l'é divîzo inte dôe pàrte pægie da unn-a de sò diagonâle, ciaschedùnn-a de quæ a l'é 'n triàngolo. L'àrea de sta figûa chi a l'é dónca:

Prinçìpio de càlcolo de l'àrea do çèrcio.

$A={\frac {1}{2}}bh$ dónde b a l'é a bâze e h a l'é l'altéssa do paralêlogràmmo ch'o contêgne o triàngolo. A-a mæxima manêa se peu ricavâ l'àrea do trapéçio e quélla do rónbo.

Çèrcio

L'àrea do çèrcio a peu êse ricavâ co-in scistêma scìmile a-o método da diseçión: defæti, dæto 'n çèrcio de ràggio r, se peu divìdde a figûa inte vàrri setoî de fórma squæxi triangolâre che, unîi tra lô, conponián in paralêlogràmmo de altéssa r e de bâze a meitæ da circonferénsa, ö sæ πr.

Dónca, l'àrea do çercio a saiâ pægia a:

$A=\pi *r^{2}$ dónde r a l'é o ràggio do çèrcio e π a l'é a costànte pi grêgo.

Scimilménte, se peu calcolâ l'àrea de l'elìsse, ch'a saiâ pægia a:

Paràmetri de 'na sfêra.

$A=\pi xy$ dónde x a l'é a meitæ da longhéssa da diagonâle magiô e y a l'é meitæ da longhéssa da diagonâle minô.

Superfìcce

L'idêa derê a-o càlcolo da superfìcce de 'na figûa inte træ dimenscioìn a l'é quélla de "tagiâ" e "sciacâ" quésta lóngo i sò spîghi de mòddo d'òtegnî 'na figûa bidimenscionâle da quæ a se sàcce còmme calcolâ l'àrea, adêuviàndo i scistêmi za analizæ. L'ùnica figûa ch'a no se peu sciacâ e risòlve con sto método chi a l'é a sfêra: inte quésto câxo bezéugna adêuviâ a fórmola de l'Archimêde, dónca:

$A=4\pi r^{2}$ dónde r l'è o ràggio da sfêra e π l'è a costànte pi grêgo.

Sta fórmola chi l'è stæta scrîta pe-a prìmma vòtta da l'Archimêde into sò lìbbro Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου (Da sfêra e do cilìndro).

Fórmole inmediâte pe-o càlcolo de l'àrea de âtre figûe tridimenscionâli són:

• Superfìcce do cùbbo: $A=6l^{2}$ dónde $l^{2}$ a l'é l'àrea de ciaschedùnn-a de sêi fàcce quadrâte.
• Superfìcce do cilìndro: $A=2\pi r^{2}+2\pi rh$ dónde $2\pi r^{2}$ a l'é dôe vòtte l'àrea da bâze e $2\pi rh$ a l'é l'àrea da fàccia verticâle.
• Superfìcce do cöno: $A=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})$, notâ che ${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ a l'é a mezûa de l'apotêma do cöno.

Raprezentaçión in sciô ciàn cartexàn de l'integrâle definîo da fonçión f(x) in sce l'intervàllo [a,b].

Càlcolo co-i integrâli

Con l'introduçión, into perîodo de l'Iluminìsmo, do càlcolo infiniteximâle, l'é diventòu poscìbile calcolâ l'àrea de tùtte e figûe conpréize sótta a-a cùrva de 'na fonçión conosciûa, gràçie a-o coscì dîto integrâle definîo ò integrâle segóndo Riemann. Defæti, dæta 'na fonçión definîa in sce l'intervàllo [a,b] e poxitîva inte sto intervàllo chi, l'integrâle definîo ${\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)dx}$ o l'é pægio pe-a sò definiçión a l'àrea de sótta a-o gràfico da fonçión $f(x)$ (se poxitîva) conpréiza tra i pónti a e b. Into câxo a fonçión a ségge negatîva, l'àrea coscì òtegnûa a l'é pe cóntra quélla conpréiza sórvia a-a cùrva da fonçión, sótta a l'àsse de ascìsse.

In concluxón, l'àrea conpréiza tra i gràfichi de dôe fonçioîn poxitîve a saiâ a diferénsa tra o valô de quéste pe tùtto o gràfico, dónca: ${\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)-g(x)dx}$.

Vôxe corelæ

• Longhéssa
• Volùmme

Âtri progètti

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons a contêgne di files in sce àrea